Er wurde am 29.10.1819 in Hamburg geboren und stammte aus einer Kaufmannsfamilie, die aus Dessau eingewandert war. Nach seiner Schulzeit am Johanneum studierte er Rechtswissenschaften in Heidelberg. Anschließend arbeitete er in Hamburg als Rechtsanwalt sowie in den Jahren 1846 bis 1849 als Kriminalhilfsaktuar bei der Hamburger Polizeibehörde. Zusätzlich war Albrecht als Redakteur bei den Hamburger Nachrichten tätig. In den Jahren 1848/49 gehörte er der Konstituierenden Versammlung in Hamburg an, wo er Mitglied des Verfassungsausschusses war. 1850 schloss er sich mit Gustav Ferdinand Hertz in der Anwaltssozietät „Dres. Albrecht & G. Hertz“ zusammen.

Von 1859 bis 1865 war Albrecht Mitglied der Hamburger Bürgerschaft. In den Jahren 1862 bis 1879 wirkte er als Präses des Handelsgerichts und wurde anschließend zum ersten Präsidenten des Landgericht Hamburgs ernannt. Jedoch musste Albrecht diese Position schon nach drei Jahren aus gesundheitlichen Gründen aufgeben. Nach seinem Tod am 30.10.1885 ehrte ihn Hamburgs Erster Bürgermeister Hermann Anthony Cornelius Weber mit den Worten:„Albrecht war ein Mann von tiefem Wissen, durchaus wahr, gründlich im Erwägen, ein Vorbild guter Rechtsprechung, einfach in seinem Auftreten hatte er einen hohen Adel der Gesinnung, er war ein echter Deutscher und ein treuer Hamburger.“

Rudolf war des erste von neun Kindern des aus den Niederlanden nach Hamburg geflüchteten Kaufmanns Willem Amsinck (1542-1618) und Henrica, geb. van de Rouse.

Er betätigte sich als Kaufmann und wurde 1618 Mitinhaber der väterlichen Assekuranzfirma "Rudolf und Arnold Amsinck". Zwischen 1615 und 1619 gründete er eine Drahtmühle in Grönwohld bei Trittau/Holstein. 1619 wurde er Ratsherr, Senator und Mitbegründer der Hamburger Bank. Er wurde 1623 Prätor (oberster Gerichtsherr) und gehörte der im selben Jahr gegründeten Admiralität an. 1625 war er Bauherr und 1633 Bankoherr. Amsinck war mehrfach hamburgischer Gesandter zu den Niederlanden, Dänemark und zu den Hansetagen. Seit 1618 war er Jurat an St. Petri und seit 1626 Colonellherr von St. Katharinen. Er besaß mehrere Grundstücke in Curslack/Vierlande, Billwerder und auf der Insel Nordstrand. Rudolf Amsinck gehörte zu den vermögendsten Hamburgern seiner Zeit.

Rudolf Amsinck heiratete am 22. November 1601 Isabeau (Isabella), geb. de Hertoghe (1583-1662), mit der er 14 Kinder hatte.